Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）時，函數(shù)無零點(diǎn).時，函數(shù)有1個零點(diǎn). 時，函數(shù)有2個零點(diǎn). （2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)的符號，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

（2）由（1）知兩個零點(diǎn)，，，零點(diǎn)間關(guān)系是，變形為，引入變量，則，，，要證的不等式等價變形為，，即證，（），為此引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性為減函數(shù)，則可證得結(jié)論成立，這里需要多次求導(dǎo)變形再求導(dǎo)才可證明．

(1)有題意得

由得，得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

時，取得極大值，也是最大值為，

所以當(dāng)，即時，函數(shù)無零點(diǎn).

當(dāng)，即時，函數(shù)有1個零點(diǎn).

當(dāng)，即時，

，設(shè)，

在恒成立，

在單調(diào)遞減，，

所以，在，各有一個零點(diǎn)，

函數(shù)有2個零點(diǎn).

綜上所述：時，函數(shù)無零點(diǎn).

時，函數(shù)有1個零點(diǎn).

時，函數(shù)有2個零點(diǎn).

（2）由（1），即時，

有兩個零點(diǎn)，（），則，，

由，得，

令，則，，，

，顯然成立，

要證，即證，

只要證，即證，（），

令，，

，，

令，則，，令，

，，

令，

，時，是減函數(shù)，

所以時，，

所以是減函數(shù)，，即（），

所以是減函數(shù)，，

所以，在時是減函數(shù)，

，即，

所以在上是減函數(shù)，，

所以，即，

綜上，成立．