Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{3，\frac{31}{2}}]$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則g（x）=x³-mx-2在x∈[-4，4]恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，進(jìn)而求出函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)極大值為正，極小值為負(fù)，g（-4）不大于0，g（4）不小于0，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴g（x）=x³-mx-2在x∈[-4，4]恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
g′（x）=3x²-m=0時(shí)，x=±$\sqrt{\frac{m}{3}}$，
故m＞0，且$\sqrt{\frac{m}{3}}$＜4，即0＜m＜48，
且$\left\{\begin{array}{l}g（-4）≤0\\ g（-\frac{m}{3}）＞0\\ g（\frac{m}{3}）＜0\\ g（4）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-66+4m≤0\\ \frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2＞0\\-\frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2＜0\\ 62-4m≥0\end{array}\right.$，
解得：m∈$（{3，\frac{31}{2}}]$，
故答案為：$（{3，\frac{31}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，熟練掌握方程根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．