Question

如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ADC的外接圓交BC于點E，AB=2AC
（Ⅰ）求證：BE=2AD；
（Ⅱ）當(dāng)AC=3，EC=6時，求AD的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接DE，證明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，結(jié)合角平分線性質(zhì)，即可證明BE=2AD；
（Ⅱ）根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，從而可求AD的長．

解答： （Ⅰ）證明：連接DE，
∵ACED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有

BE

BA

=

DE

CA

，
又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分線，∴AD=DE，
∴BE=2AD；…（5分）
（Ⅱ）解：由條件知AB=2AC=6，設(shè)AD=t，
則BE=2t，BC=2t+6，
根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，
即（6-t）×6=2t•（2t+6），即2t²+9t-18=0，
解得t=

3

2

或-6（舍去），則AD=

3

2

．…（10分）

點評：本題考查三角形相似，考查角平分線性質(zhì)、割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．