Question

(本題滿分14分)如圖，已知二次函數(shù)，直線l：x = 2，直線l：y = 3tx(其中1< t < 1，t為常數(shù))；若直線l、l與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖(5)陰影所示．(1)求y = ；(2)求陰影面積s關(guān)于t的函數(shù)s = u(t)的解析式；(3)若過點A(1，m)(m≠4)可作曲線s=u(t)(t∈R)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

(1)由圖可知二次函數(shù)的圖象過點(0，0)，(1，0)，

則，又因為圖象過點(2，6)，∴6=2，， 3分

∴函數(shù)的解析式為；…4分

(2)由得，

∴直線與的圖象的交點橫坐標(biāo)分別為0，，…6分

由定積分的幾何意義知：

，…8分

∵曲線方程為

∴點不在曲線上，設(shè)切點為，則點的坐標(biāo)滿足：

因，故切線的斜率為：

，整理得，…10分

∵過點可作曲線的三條切線，∴關(guān)于方程有三個實根．

設(shè)，則，由得，

∵當(dāng)時，在在上單調(diào)遞增，

∵當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．

∴函數(shù)的極值點為，…12分

∴關(guān)于當(dāng)成有三個實根的充要條件是，

解得，故所求的實數(shù)的取值范圍是，……14分