Question

如圖，由半橢圓x²+

y2

a

=1（y≤0，a＞0）和部分拋物線y=x²-1（y≥0）合成的曲線C經(jīng)過點（

1

2

，-

3

）．
（1）求a的值；
（2）設(shè)A（1，0），B（-1，0），過A且斜率為k的直線l與曲線C相交于P、A、Q三點，問是否存在實數(shù)k使得∠QBP=90°？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）把點（

1

2

，-

3

）代入半橢圓x²+

y2

a

=1（y≤0，a＞0），即可解出a．
（2）假設(shè)存在實數(shù)k使得∠QBP=90°．則直線l的方程為：y=k（x-1），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
把直線l的方程分別與拋物線方程、橢圓方程聯(lián)立可得P，Q的坐標（用k表示），再利用∠QBP=90°，可得

BQ

•

BP

=0，即（x₂+1，y₂）•（x₁+1，y₁）=0，解出即可．

解答： 解：（1）把點（

1

2

，-

3

）代入半橢圓x²+

y2

a

=1（y≤0，a＞0），可得

1

4

+

3

a

=1．解得a=4．
（2）假設(shè)存在實數(shù)k使得∠QBP=90°．則直線l的方程為：y=k（x-1），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) y=x2-1(y≥0)

，化為x²-kx+k-1=0，解得x₂=k-1，y₂=k²-2k，Q（k-1，k²-2k）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2+ y2 4 =1(y≤0)

，化為（4+k²）x²-2k²x+k²-4=0，解得x₁=

k2-4

k2+4

，y₁=

-8k

k2+4

，
P(

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

)．
∵∠QBP=90°，∴

BQ

•

BP

=0，
∴（x₂+1，y₂）•（x₁+1，y₁）=0，
∴k•

2k2

k2+4

+

-8k(k2-2k)

k2+4

=0，k≠0．
化為k=

8

3

．
經(jīng)過驗證滿足條件．
因此存在實數(shù)k=

8

3

使得∠QBP=90°．

點評：本題考查了橢圓的標準方程、直線與橢圓拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點坐標、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．