Question

【題目】如圖，某十字路口的花圃中央有一個(gè)底面半徑為的圓柱形花柱，四周斑馬線(xiàn)的內(nèi)側(cè)連線(xiàn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.因工程需要，測(cè)量員將使用儀器沿斑馬線(xiàn)的內(nèi)側(cè)進(jìn)行測(cè)量，其中儀器的移動(dòng)速度為，儀器的移動(dòng)速度為.若儀器與儀器的對(duì)視光線(xiàn)被花柱阻擋，則稱(chēng)儀器在儀器的“盲區(qū)”中.

（1）如圖，斑馬線(xiàn)的內(nèi)側(cè)連線(xiàn)構(gòu)成正方形，儀器在點(diǎn)處，儀器在上距離點(diǎn)處，試判斷儀器是否在儀器的“盲區(qū)”中，并說(shuō)明理由；

（2）如圖，斑馬線(xiàn)的內(nèi)側(cè)連線(xiàn)構(gòu)成正方形，儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為多少？

Answer 1

【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線(xiàn)的方程，求出原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，判斷直線(xiàn)與花柱所在圓的位置關(guān)系，由此可得出結(jié)論；

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求出、、、的坐標(biāo)，假設(shè)儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為，用表示點(diǎn)、的坐標(biāo)，并求出直線(xiàn)的方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離可得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍，由此可得出結(jié)果.

（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，

所以直線(xiàn)的方程是，即，

故圓心到直線(xiàn)的距離，

所以圓與直線(xiàn)相交，故儀器在儀器的“盲區(qū)”中；

（2）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則，，，.

依題意知起始時(shí)刻儀器在儀器的“盲區(qū)”中.

假設(shè)儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為，則，，

所以直線(xiàn)的斜率，

故直線(xiàn)的方程是，即，

從而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

整理得，解得，結(jié)合時(shí)間，得.

答：儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為.