Question

已知數(shù)列{a_n}的通項為a_n，前n項和為s_n，且a_n是s_n與2的等差中項，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式a_n，b_n
（Ⅱ）設{b_n}的前n項和為B_n，試比較

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

與2的大�。�
（Ⅲ）設T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，若對一切正整數(shù)n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知條件得出數(shù)列的通項和前n項和之間的等式關系，再結合二者間的基本關系，得出數(shù)列{a_n}的通項公式，根據(jù){b_n}的相鄰兩項滿足的關系得出遞推關系，進一步求出其通項公式；
（Ⅱ）利用放縮法轉化各項是解決該問題的關鍵，將所求的各項放縮轉化為能求和的一個數(shù)列的各項估計其和，進而達到比較大小的目的；
（Ⅲ）利用錯位相減法進行求解T_n是解決本題的關鍵，然后對相應的和式進行估計加以解決．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得2a_n=s_n⁺2，
當n=1時，a₁=2，
當n≥2時，有2a_n-1=s_n-1⁺2，兩式相減，整理得a_n=2a_n-1即數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故a_n=2ⁿ．
點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即數(shù)列{b_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
因此b_n=2n-1．
（Ⅱ）B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+..+

1

(n-1)．n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=2-

1

n

＜2∴

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

＜2．
（Ⅲ）T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

＜3
又T4=

1

2

+

3

22

+

4

23

+

7

24

=

37

16

＞2
∴滿足條件Tn＜c的最小值整數(shù)c=3．

點評：本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的判定問題，考查根據(jù)數(shù)列的遞推關系得出數(shù)列通項公式的方法，考查數(shù)列的通項與前n項和之間的關系，考查數(shù)列求和的思想和方法，考查放縮法估計不等式的有關問題，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．