Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其左、右焦點，過F₂的直線l交橢圓E于A，B兩點，且△AF₁F₂的周長是6

2

．
①求橢圓E的方程；
②設(shè)N點的坐標(biāo)是（4

2

，0），若

NA

•

NB

=18，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①利用離心率為

1

2

，△AF₁F₂的周長是6

2

，求出a，b，即可求橢圓E的方程；
②設(shè)l的方程為：x=ty+

2

，聯(lián)立直線與橢圓方程得（3t²+4）y²+6

2

ty-18=0，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合

NA

•

NB

=18，即可求直線l的方程．

解答： 解：①由題意知，

c

a

=

1

2

，2a+2c=6

2

，a=2

2

，c=

2

，b=

6

．
故：橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

6

=1．                         …（6分）
②由條件知直線l的斜率不為0，設(shè)l的方程為：x=ty+

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓方程得（3t²+4）y²+6

2

ty-18=0，
∴y₁+y₂=-

6 2 t

3+4t2

，y₁y₂=-

18

3+4t2

，
∴

NA

•

NB

=（1+t²）y₁y₂-3

2

t（y₁+y₂）+18=18，
∴t=±1         …（12分）
故直線l的方程為：x=±y+

2

．                         …（13分）

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．