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【題目】在橢圓上任取一點（不為長軸端點），連結、，并延長與橢圓分別交于點、兩點，已知的周長為8，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設坐標原點為，當不是橢圓的頂點時，直線和直線的斜率之積是否為定值？若是定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，值為.

【解析】

（1）根據橢圓的定義，結合的周長為8，求出的值，設出點的坐標，結合三角形面積公式，橢圓的范圍，面積的最大值為.可以求出的關系，進而求出的值，最后求出橢圓的方程；

（2）設出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用解方程組，求出點坐標，同理求出的坐標，最后通過斜率公式，計算出直線和直線的斜率之積是定值.

（1）因為的周長為8，所以有

設，因為面積的最大值為.所以的最大值為，由橢圓的范圍，當時，面積最大，因此有，而，因為，所以，所以橢圓標準方程為：；

（2）當不是橢圓的頂點時，因此.

直線的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得：

，

，，

同理直線的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得：

，

，

為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形是某生態(tài)農莊的一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路（寬度不計）經過該矩形區(qū)域，其中都在矩形的邊界上.已知，（單位：百米），小路將矩形分成面積分別為，（單位：平方百米）的兩部分，其中，且點在面積為的區(qū)域內，記小路的長為百米.

（1）若，求的最大值；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年上半年我國多個省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時間豬肉價格暴漲，其他肉類價格也跟著大幅上揚，嚴重影響了居民的生活.為了解決這個問題，我國政府一方面鼓勵有條件的企業(yè)和散戶防控疫情，擴大生產；另一方面積極向多個國家開放豬肉進口，擴大肉源，確保市場供給穩(wěn)定.某大型生豬生產企業(yè)分析當前市場形勢，決定響應政府號召，擴大生產決策層調閱了該企業(yè)過去生產相關數據，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數量之間的關系”進行研究.現(xiàn)相關數據統(tǒng)計如下表：

生豬存欄數量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

（1）研究員甲根據以上數據認為與具有線性回歸關系，請幫他求出關于的線.性回歸方程（保留小數點后兩位有效數字）

（2）研究員乙根據以上數據得出與的回歸模型：.為了評價兩種模型的擬合效果，請完成以下任務：

①完成下表（計算結果精確到0.01元）（備注：稱為相應于點的殘差）；

生豬存欄數量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估計值

殘差

模型乙

估計值

3.2

2.4

2

1.76

1.4

殘差

0

0

0

0.14

0.1

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較的大小，判斷哪個模型擬合效果更好.

（3）根據市場調查，生豬存欄數量達到1萬頭時，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數量達到1.2萬頭時，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.2元若按（2）中擬合效果較好的模型計算一天中一頭豬的平均成本，問該生豬存欄數量選擇1萬頭還是1.2萬頭能獲得更多利潤?請說明理由.（利潤=收入-成本）

參考公式：.

參考數據：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了調查中學生每天玩游戲的時間是否與性別有關，隨機抽取了男、女學生各50人進行調查，根據其日均玩游戲的時間繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）求所調查學生日均玩游戲時間在分鐘的人數；

（2）將日均玩游戲時間不低于60分鐘的學生稱為“游戲迷”，已知“游戲迷”中女生有6人；

①根據已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“游戲迷”和性別關系；

非游戲迷

游戲迷

合計

男

女

合計

②在所抽取的“游戲迷”中按照分層抽樣的方法抽取10人，再在這10人中任取9人進行心理干預，求這9人中男生全被抽中的概率.

附：（其中為樣本容量）.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知的兩個頂點的坐標分別為，，且所在直線的斜率之積等于，記頂點的軌跡為.

（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點，點在曲線上，且為的重心（為坐標原點），求證：的面積為定值，并求出該定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數(其中是常數，且)，曲線在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若存在(其中是自然對數的底)，使得成立，求的取值范圍；

（3）設，若對任意，均存在，使得方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為等差數列，為等比數列，公比為.令.

（1）若.

①當，求數列的通項公式；

②設，，試比較與的大小？并證明你的結論.

（2）問集合中最多有多少個元素？并證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上(如圖1)，且BE=BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′(如圖2).

（1）求證：A′D⊥EF；

（2）BFBC時，求點A′到平面DEF的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為2的正方形，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

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