Question

已知圓O：x²+y²=1，點P在直線l：2x+y-3=0上，過點P作圓O的兩條切線，A，B為兩切點．
（1）求切線長PA的最小值，并求此時點P的坐標；
（2）點M為直線y=x與直線l的交點，若在平面內存在定點N（不同于點M），滿足：對于圓 O上任意一點Q，都有為一常數，求所有滿足條件的點N的坐標．
（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半徑R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，而|PO|最短時，OP垂直于直線2x+y-3=0，由此可得結論；
（2）由直線y=x與直線l：2x+y-3=0聯立，可得交點坐標M（1，1），設Q（m，n），N（x，y），利用為一常數，建立等式，根據Q的任意性，即可求得結論；
（3）由題意，四點P，A，O，B共圓，當且僅當圓與直線相切時，|PA|最小，∠APB最大，取得最小值．
解答：解：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半徑R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，
而|PO|最短時，OP垂直于直線2x+y-3=0，所以最短|OP|=，
所以|PA|²=|PO|²-R²=
即|PA|最小時，|PA|=
直線2x+y-3=0的斜率是k=-2，則PO的斜率是k'=，所以OP方程是y=
將方程y=與直線2x+y-3=0聯立，解得：x=，故有y=，即點P坐標是（，）；
（2）由直線y=x與直線l：2x+y-3=0聯立，可得交點坐標M（1，1），設Q（m，n），N（x，y）
則=（λ≠1）
∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x²+y²-3λ+1=0
∵對于圓 O上任意一點Q，都有為一常數，
∴，解得x=y=λ=，
∴N（，）
（3）由題意，四點P，A，O，B共圓，當且僅當圓與直線相切時，|PA|最小，∠APB最大，取得最小值
由（1）知P坐標是（，）；
設A（a，b），則過A的切線方程為：ax+by=1，將（，）代入可得，
∵a²+b²=1
∴a=，b=，或a=，b=
∴=（-，-）•（-，-）=
點評：本題考查圓的切線，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．