【題目】已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中:
(I)證明:平面平面;
(Ⅱ)若點在棱上運動,當直線與平面所成的角最大時,求二面角的余弦值.
圖一
圖二
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)設(shè)AC的中點為O,證明PO垂直AC,OB,結(jié)合平面與平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐標系,分別計算兩相交平面的法向量,結(jié)合向量的數(shù)量積公式,計算夾角,即可.
(Ⅰ)設(shè)的中點為,連接,.
由題意,得,
,.
因為在中,,為的中點,
所以,
因為在中,,,,
,所以.
因為,平面,所以平面,
因為平面,所以平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,平面,
所以是直線與平面所成的角,
且,
所以當最短時,即是的中點時,最大.
由平面,,所以,,于是以
,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖示空間直角坐標系,
則,,,,,,
,,.
設(shè)平面的法向量為,則
由得:.
令,得,,即.
設(shè)平面的法向量為,
由得:,
令,得,,即.
.
由圖可知,二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當前全世界人民越來越關(guān)注環(huán)境保護問題,某地某監(jiān)測站點于2018年8月起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:
空氣質(zhì)量指數(shù)(μg/m3) | [0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,250] |
空氣質(zhì)量等級 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 20 | 40 | m | 10 | 5 |
(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n,m的值,并完成頻率分布直方圖;
(2)由頻率分布直方圖,求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù);
(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為[0,50]和(50,100]的監(jiān)測數(shù)據(jù)中,用分層抽樣的方法抽取6天,從中任意選取2天,求事件A“兩天空氣質(zhì)量等級都為良”發(fā)生的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 和所在平面互相垂直,且, 分別為AC、DC、AD的中點
(1)求證: 平面BCG;
(2)求三棱錐D-BCG的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟全球化、信息化的發(fā)展,企業(yè)之間的競爭從資源的爭奪轉(zhuǎn)向人才的競爭.吸引、留住培養(yǎng)和用好人才成為人力資源管理的戰(zhàn)略目標和緊迫任務(wù).在此背景下,某信息網(wǎng)站在15個城市中對剛畢業(yè)的大學(xué)生的月平均收入薪資和月平均期望薪資做了調(diào)查,數(shù)據(jù)如圖所示.
(1)若某大學(xué)畢業(yè)生從這15座城市中隨機選擇一座城市就業(yè),求該生選中月平均收人薪資高于8000元的城市的概率;
(2)若從月平均收入薪資與月平均期望薪資之差高于1000元的城市中隨機選擇2座城市,求這2座城市的月平均期望薪資都高于8000元或都低于8000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的四個頂點組成的四邊形的面積為,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的下頂點為,如圖所示,點為直線上的一個動點,過橢圓的右焦點的直線垂直于,且與交于兩點,與交于點,四邊形和的面積分別為.求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))曲線C2的參數(shù)方程為(,為參數(shù))在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線l:θ=與C1,C2各有一個交點.當=0時,這兩個交點間的距離為2,當=時,這兩個交點重合.
(1)分別說明C1,C2是什么曲線,并求出a與b的值;
(2)設(shè)當=時,l與C1,C2的交點分別為A1,B1,當=-時,l與C1,C2的交點為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標平面中,已知點,,,…,,其中是正整數(shù),對平面上任一點,記為關(guān)于點的對稱點,為關(guān)于點的對稱點,…,為關(guān)于點的對稱點.
(1)求向量的坐標;
(2)當點在曲線上移動時,點的軌跡是函數(shù)的圖像,其中是以3為周期的周期函數(shù),且當時,.求以曲線為圖像的函數(shù)在上的解析式;
(3)對任意偶數(shù),用表示向量的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面四邊形中,,是,中點,,,,將沿對角線折起至,使平面,則四面體中,下列結(jié)論不正確的是( )
A.平面
B.異面直線與所成的角為
C.異面直線與所成的角為
D.直線與平面所成的角為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面.底面是菱形,.
(Ⅰ)求證:直線平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正切值;
(Ⅲ)已知在線段上,且,求二面角的余弦值.
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