已知函數(shù)f(x)=
px2+2x-q
，對(duì)定義域中的所有x都滿(mǎn)足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5
（1）求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
分析：（1）利用條件f（x）+f（-x）=0和f（2）=5建立方程，即可求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．
解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=
px2+2
x-q
，對(duì)定義域中的所有x都滿(mǎn)足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5，
∴f（2）=
4p+2
2-q
=5，
即4p+2=10-5q，
∴4p+5q=8，
由f（x）+f（-x）=0得
px2+2
x-q
=-
px2+2
-x-q
=
px2+2
x+q
，
∴-q=q，解得q=0，
∴p=2．
（2）∵p=2，q=0，
∴函數(shù)f(x)=
px2+2
x-q
=
2x2+2
x
=2x+
2
x
，
f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x2＞x1≥1，
則f（x2）-f（x1）=2(x2-x1)+
2(x1-x2)
x1x2
=2(x2-x1)•
x1x2-1
x1x2
，
∵x2＞x1≥1，
∴x2-x1＞0，x2x1＞1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線(xiàn)l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
-x3+x2+bx+c
 ，(x＜1)
alnx
 ，(x≥1)
的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線(xiàn)的斜率是-5．
（1）試確定實(shí)數(shù)b，c的值，并求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（2）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線(xiàn)y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0)，h(x)=
2(x-1)
x+1

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在其定義域范圍是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，證明f（x）＞h（x）成立；
（3）記函數(shù)f（x）與g（x）的圖象分別是C1、C2，C1、C2相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，過(guò)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R作垂直于x軸的垂線(xiàn)，與C1、C2分別交于M、N，問(wèn)是否存在點(diǎn)R，使得曲線(xiàn)C1在M處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)C2在N處的切線(xiàn)平行？若存在，試求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x+
tx
(x＞0)，過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線(xiàn)y=f（x）的兩條切線(xiàn)PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿(mǎn)足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a（a＞1）是否存在這樣的數(shù)列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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