Question

如圖，半徑為1的圓O，∠AOB=∠BOC=∠COA=

2π

3

，點A₀，B₀，C₀分別是半徑OA、OB、CO上的動點，且OA₀=OB₀=OC₀，分別過A₀，B₀，C₀作半徑OA、OB、CO的垂線，交圓O與A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，過A₂，B₁分別作OA、OB的平行線A₂M和B₁M交于點M，過B₂，C₁分別作OB、OC的平行線B₂N和C₁N交于點N，過C₂，A₁分別作OC、OA的平行線C₂P和A₁P交于點P，由A₁A₂MB₁B₂NC₁C₂P圍成圖所示的平面區(qū)域（陰影部分），記它的面積為y，設(shè)∠A₂OA=θ，用y=f（θ）表示y關(guān)于θ的函數(shù)．
（1）設(shè)θ∈（0，

π

3

]，求y=f（θ）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求y=f（θ）的最大值，并求出當(dāng)函數(shù)取最大值是時tan2θ的值．

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意，y=6SOA0A2M，四邊形OA₀A₂M為直角梯形，即可求y=f（θ）的解析式；
（2）f（θ）=

39

2

sin（2θ+φ）-

3

2

（tanφ=

1

2 3

），即可求出y=f（θ）的最大值，同時可得當(dāng)函數(shù)取最大值是時tan2θ的值．

解答： 解：（1）由題意，y=6SOA0A2M，
A₀A₂=OA₂sinθ=sinθ，OA₀=cosθ，
由圖可知，四邊形OA₀A₂M為直角梯形，
∴6SOA0A2M=

1

2

（MA₂+OA₀）•A₀A₂
由圖知，M，N，P對稱，∴∠MOP=120°，
∴∠MOH=60°，
∴在Rt△OMH中，OH=

MH

3

=

sinθ

3

，
∴SOA0A2M=

1

2

[（cosθ-

sinθ

3

）+cosθ]sinθ=

1

2

sin2θ-

sin2θ

2 3

，
∴y=3sin2θ+

3

2

cos2θ-

3

2

（θ∈（0，

π

3

]），
（2）f（θ）=

39

2

sin（2θ+φ）-

3

2

（tanφ=

1

2 3

）
∵θ∈（0，

π

3

]，tanφ=

1

2 3

＜

1

3

，
∴φ∈（0，

π

6

）
∴2θ+φ=

π

2

時，y=f（θ）的最大值為

39 - 3

2

，
此時2θ=

π

2

-φ，tan2θ=tan（

π

2

-φ）=

1

tanθ

=2

3

．

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查是三角函數(shù)知識的運用，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．