Question

某科研小組對熱能與電能的轉(zhuǎn)化和燃煤每分鐘的添加量之間的關(guān)系進行科學研究，在對某發(fā)電廠A號機組的跟蹤調(diào)研中發(fā)現(xiàn)：若該機組每分鐘燃煤的添加量設(shè)計標準為a噸，在正常狀態(tài)下，通過自動傳輸帶給該機組每分鐘添加燃煤x噸，理論上可以共生產(chǎn)電能x³-x+10千瓦，而由于實際添加量x與設(shè)計標準a存在誤差，實際上會導(dǎo)致電能損耗2|x-a|千瓦，最后實際產(chǎn)生的電能為f（x）千瓦．
（1）試寫出f（x）關(guān)于x的函數(shù)表達式；當0＜a＜1時，求f（x）的極大值．
（2）該科研小組決定調(diào)整設(shè)計標準a，控制添加量x，實現(xiàn)對最終生產(chǎn)的電能f（x）的有效控制的科學實驗，若某次實驗中a∈[

1

2

，1)，x∈[

1

2

，

3

2

]（單位：噸），用電高峰期間，要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于9千瓦，否則供電不正常．試問這次實驗?zāi)芊駥崿F(xiàn)這個目標？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知f（x）=

x3-3x+10+2a，x≥a x3+x+10-2a，0＜x＜a

，從而得到f′(x)=

3x2-3，x≥a 3x2+1，0＜x＜a

，由此能求出0＜a＜1時f（x）的極大值．
（2）由a∈[

1

2

，1]，x∈[

1

2

，

3

2

]，知f（x）在（

1

2

，a]上是增函數(shù)，在（a，1）上是減函數(shù)，在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，從而得到f（x）_min=min{f（

1

2

），f（1）}，由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）由題設(shè)知f（x）=x³-x+10-2|x-a|，x＞0
∴f（x）=

x3-3x+10+2a，x≥a x3+x+10-2a，0＜x＜a

，
∴f′(x)=

3x2-3，x≥a 3x2+1，0＜x＜a

，
當a＞1時，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函數(shù)；
x∈[a，+∞），f（x）=3x³-3＞0，f（x）是增函數(shù)．
當0＜a＜1時，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函數(shù)；
x∈（a，1），f′（x）=3x²-3＜0，f（x）是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）=3x²-3＞0，f（x）是增函數(shù)．
∴x=a時，f（x）有極大值f（a）=a³+a+10-2a=a³-a+10．
（2）∵a∈[

1

2

，1]，x∈[

1

2

，

3

2

]，
∴由（1）知f（x）在（

1

2

，a]上是增函數(shù)，在（a，1）上是減函數(shù)，在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=min{f（

1

2

），f（1）}，
∵f（

1

2

）=（

1

2

）³+

1

2

+10-2a=

85

8

-2a，
f（1）=8+2a，f（1）-f（

1

2

）=4a-

21

8

．
∴當

21

32

≤a≤1時，f（1）≥f（

1

2

），
當

1

2

≤a＜

21

32

時，f（1）＜f（

1

2

），
故當a∈[

1

2

，

21

32

）時，f（x）_min=f（1）=2a+8≥9，可以實現(xiàn)目標．
當a∈[

21

32

，1]時，f（x）_min=f（

1

2

）=

85

8

-2a∈[

69

8

，

149

16

]，
從而a∈[

21

32

，

13

16

]時，f（x）_min=f（

1

2

）≥9，a∈[

13

16

，1]時，f（x）_min=f（

1

2

）＜9，
綜上所述，a∈[

1

2

，

13

16

]時，能實現(xiàn)目標；a∈[

13

16

，1]時，不能實現(xiàn)目標．

點評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的合理運用，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．