(Ⅰ)設(shè)為正數(shù),且,求證:;

(Ⅱ)設(shè)為正數(shù),,求證:

 

【答案】

(Ⅰ)為正數(shù),且,由柯西不等式有:

,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,

.                                 ……………6分

(Ⅱ)證法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)時(shí),左邊=右邊; 當(dāng)時(shí),左邊=右邊;

當(dāng)時(shí),左邊右邊,

所以當(dāng)時(shí),不等式成立;

②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即,則當(dāng)時(shí),

是正數(shù),,

, ,

所以當(dāng)時(shí)不等式也成立,

綜合①②得當(dāng)為正數(shù),時(shí),成立.  ……………12分

證法二:用構(gòu)造法證明:

設(shè),則:,

是正數(shù)

,又,,

即當(dāng)為正數(shù),時(shí),成立.

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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(1)設(shè)、是不全為零的實(shí)數(shù),試比較的大小;

(2)設(shè)為正數(shù),且,求證:.

 

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設(shè)為正數(shù),且.求的最小值.

 

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設(shè)為正數(shù),且的最大值是         。

 

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設(shè)為正數(shù),且,求證:

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