Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{ }（）滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得 對于任意的，都有≤ ．

Answer 1

解：（I）由，而，

的一個(gè)零點(diǎn)，且在（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)。

因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)。

解法1：記則

當(dāng)上單調(diào)遞增，則內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?sub>內(nèi)有零點(diǎn)，所以內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，

所以，

當(dāng)單調(diào)遞減，而內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)單調(diào)遞減，而內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)單調(diào)遞增，而內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。

從而內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

解法2：由，則

當(dāng)從而上單調(diào)遞增，

則內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，因此內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

   （II）記的正零點(diǎn)為

   （1）當(dāng)

而

由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。

①當(dāng)顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，由

因此，當(dāng)成立。

故對任意的成立。

   （2）當(dāng)，由（I）知，上單調(diào)遞增，則，

即，

由此猜測：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，

①當(dāng)顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)成立，則當(dāng)時(shí)，

由

因此，當(dāng)成立，

故對任意的成立

綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的