Question

已知數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，a₁=5，且S_n+1=S_n+2a_n=2ⁿ+2（n∈N₊）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）設(shè)b_n=

an+λ

2n

，若實數(shù)λ使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，求λ的值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）把已知遞推式變形，得到an+1=2an+2n+2，然后最直接把a₁=5代入依次求a₂，a₃的值；
（2）由an+1=2an+2n+2，得到

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

+

1

2n

，把n依次取1，2，3，…，n后累加，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入b_n=

an+λ

2n

，由等差數(shù)列通項公式的特點求得λ的值．

解答： 解：（1）由S_n+1=S_n+2a_n+2ⁿ+2，得
S_n+1-S_n=2a_n+2ⁿ+2，即an+1=2an+2n+2，

∵a₁=5，
∴a2=2a1+21+2=2×5+4=14．
a3=2a2+22+2=2×14+6=34；
（2）由（1）知，an+1=2an+2n+2，
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

+

1

2n

，
則

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

+

1

2n-1

（n≥2），
由

a2

22

-

a1

21

=

1

2

+

1

2

，

a3

23

-

a2

22

=

1

2

+

1

22

，

a4

24

-

a3

23

=

1

2

+

1

23

，
…

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

+

1

2n-1

（n≥2），

累加得：

an

2n

-

a1

2

=

1

2

(n-1)+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)，
即

an

2n

=

5

2

+

1

2

(n-1)+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

，
解得：an=(3+

n

2

-

1

2n-1

)•2n（n≥2）．
a₁=5適合上式，
∴an=(3+

n

2

-

1

2n-1

)•2n．
∴b_n=

an+λ

2n

=

(3+ n 2 - 1 2n-1 )•2n+λ

2n

=3+

n

2

-

1

2n-1

+

λ

2n

．
要使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，則

λ

2n

-

1

2n-1

=

λ-2

2n

=0，即λ=2．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用類加法求數(shù)列的通項公式，訓練了等差關(guān)系的確定，是中檔題．