Question

已知α，β三次函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx（a，b∈R）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α∈（0，1）β∈（1，2）求動(dòng)點(diǎn)（a，b）所在區(qū)域的面積為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：已知α，β是三次函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，可知α，β是方程x²+ax+2b=0的兩個(gè)根，根據(jù)α∈（0，1），β∈（1，2），求出可行域，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；

解答： 解：由函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx（a，b∈R）可得，
f′（x）=x²+ax+2b，
由題意知，α，β是方程x²+ax+2b=0的兩個(gè)根，
且α∈（0，1），β∈（1，2），
因此得到可行域

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，畫出可行域如圖．

a+2b+1=0 a+b+2=0

的交點(diǎn)（-3，1）．
所以S=

1

2

×1×1=

1

2

；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系得出可行域，此題是一道中檔題；