Question

已知橢圓C方程為

x2

16

+

y2

12

=1，已知P（2，3）、Q（2，-3）是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點．
（1）若直線AB的斜率為

1

2

，求四邊形APBQ面積的最大值；
（2）當A、B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t，代入

x2

16

+

y2

12

=1中整理得到二次方程，運用韋達定理，再由四邊形APBQ的面積S=

1

2

×|PQ|×|x₁-x₂|，即可得到最大值；
（2）當∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，將PA、PB的直線方程分別代入橢圓方程，然后運用韋達定理，求出x₁，x₂，再由而k_AB=

y2-y1

x2-x1

化簡即可得到定值．

解答： 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t，
代入

x2

16

+

y2

12

=1中整理得x²+tx+t²-12=0，
△＞0⇒-4＜t＜4，x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12，
則四邊形APBQ的面積S=

1

2

×|PQ|×|x₁-x₂|=

1

2

×6×|x₁-x₂|=3

48-3t2

，
故當t=0時S_max=12

3

；
（2）當∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和為0，
設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，
PA的直線方程為y-3=k（x-2），代入

x2

16

+

y2

12

=1
中整理得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，
2+x₁=

8(2k-3)k

3+4k2

，
同理2+x₂=

8(2k+3)k

3+4k2

，x₁+x₂=

16k2-12

3+4k2

，x₁-x₂=

-48k

3+4k2

，
從而k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

k(x1+x2)-4k

x1-x2

=

1

2

，即直線AB的斜率為定值．

點評：本題考查橢圓的方程及聯(lián)立直線方程消去一個未知數(shù)，得到二次方程，運用韋達定理求解，考查基本的運算能力，屬于中檔題．