Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

2

sin2ωx+cos2ωx，其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期為π，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，求f（x）在x∈[0，π]的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式為sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，根據(jù)周期求出ω的值，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象的對稱性求出ω的值，從而得到f（x）的解析式為f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

，再根據(jù)它的定義域求出它的值域．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2ωx+

cos2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，且周期T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
故函數(shù)f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈z，
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z．（6分）
（2）根據(jù) f(x)=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

的一條對稱軸方程為x=

π

3

．
可得 2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z，解得ω=

3

2

k+

1

2

，k∈z．
再由0＜ω＜2，可得ω=

1

2

．
∴f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

．
∵x∈[0，π]，∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，故 0≤f（x）≤

3

2

，
即f（x）值域為 [0，

3

2

]．（12分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期性、對稱性和單調(diào)性，屬于中檔題．