已知函數(shù)f(x)=2x+a的反函數(shù)是y=f -1 (x).設(shè)P(x+a,y1)、Q(x,y2)、R(2+a,y3)是y= f -1 (x)圖象上不同的三點(diǎn).

(1)如果存在正實(shí)數(shù)x,使y1、y2、y3成等差數(shù)列,試用x表示a;?

(2)在(1)的條件下,如果實(shí)數(shù)x是唯一的,試求a的取值范圍.?

解析:(1)易知函數(shù)f(x)的反函數(shù)?

f -1(x)=log2(x-a)(xa).?

∵P、Q、R是f -1 (x)圖象上不同的三點(diǎn),??

y1=log2x,y2=log2(x-a),y3=1.?

又∵P、Q、R為不同的三點(diǎn),?

a≠0且x≠2.?

又已知y1,y2,y3成等差數(shù)列,即有y1+y3=2y2,??

因此,1+log2x=2log2(x-a),?

即log22x=log2(x-a).?

x-a=2xx>0且xa.?

a=x-2x(x>0且x≠2).①?

(2)等量關(guān)系①等價(jià)于?

方程②等價(jià)于x2-2(a+1)x+a2=0.?④?

Δ=[2(a+1)]2-4a2=8a+4.?

當(dāng)a=-時(shí),Δ=0.?

方程④僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解x=且滿足③,??

a=-滿足①有唯一解.?

當(dāng)a>-時(shí),Δ>0,方程②有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)解,即?

x1=a+1+,x2=a+1-,?

x1=a+1+a,?

x1a滿足條件③.?

x1是方程①的解.?

要使方程①有唯一解,則x2不能是①的解,?

x2=a+1-a, ≥1,即a≥0.?

a≠0,∴a>0.?

綜合a的取值范圍是a=-a>0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1

(1)求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

(1)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
(2)當(dāng)x∈[0,2π]時(shí),求使f(x)=
3
成立的x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)
的圖象過(guò)點(diǎn)(4,-1)
(1)求a的值;
(2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若f(x)+mx>1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時(shí),函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案