若關于x的方程數(shù)學公式有四個不相等的實根,則實數(shù)k的取值范圍是


  1. A.
    數(shù)學公式
  2. B.
    (0,+∞)
  3. C.
    數(shù)學公式
  4. D.
    數(shù)學公式
D
分析:由題意可得當x>0時,f(x)=x2 和 g(x)=ln(x2+1)+k 的圖象有2個交點,當k=0時,滿足條件;當f(x) 和
g(x)的圖象在(0,+∞)上相切時,由f′(x)=g′(x)可得,x=1,此時,k=-ln2,綜上可得,實數(shù)k的
取值范圍.
解答:∵關于x的方程有四個不相等的實根,
∴偶函數(shù)f(x)=x2 和偶函數(shù) g(x)=ln(x2+1)+k 的圖象有4個交點,
故當x>0時,f(x)=x2 和 g(x)=ln(x2+1)+k 的圖象有2個交點,
由于函數(shù)g(x) 的圖象經(jīng)過定點(0,k),f(x)的圖象過點(0,0),再由對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性特點可得,
當k=0時,f(x) 和 g(x)的圖象在(0,+∞)上有3個交點.
當f(x) 和 g(x)的圖象在(0,+∞)上相切時,由f′(x)=g′(x)可得 x=,x=1,此時,k=-ln2.
綜上可得,實數(shù)k的取值范圍是
故選D.
點評:本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關系,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,屬于基礎題.
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B.(,1)
C.(,+∞)
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