Question

已知f（x）=e^x-ax-1（a∈R），求證：對于任意的a∈R，總存在x₀∈[0，+∞），使得f（x₀）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（0）=e⁰-a×0-1=0，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）=e^x-ax-1在R上遞增，由x＞0時，得f（x）＞0，滿足要求；
當(dāng)a＞0時，畫y=e^x與y=ax+1的圖象，從圖象來做題．

解答： 解：（1）f（0）=e⁰-a×0-1=0，
當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）=e^x-ax-1在R上遞增，∴x＞0時，f（x）＞0，滿足要求；
當(dāng)a＞0時，f（x₀）＞0，即ex0-ax0-1＞0即ex0＞ax0+1，
畫y=e^x與y=ax+1的圖象：

從圖象上看，不論直線y=ax+1與y=e^x相切、相交，總有x₀＞x_A時，滿足f（x₀）＞0，滿足ex0＞ax0+1，
綜上，對于任意的a∈R，總存在x₀∈[0，+∞），使得f（x₀）＞0．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，不等式的問題常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的函數(shù)值的比較．