【題目】已知正方體的棱長(zhǎng)為的中點(diǎn),下列說(shuō)法中正確的是(

A.所成的角大于

B.點(diǎn)到平面的距離為1

C.三棱錐的外接球的表面積為

D.直線與平面所成的角為

【答案】D

【解析】

對(duì)于A選項(xiàng),取的中點(diǎn)為,可得,則所成的角,結(jié)合余弦定理即可判斷;

對(duì)于B選項(xiàng),求出四棱錐的所有棱長(zhǎng),從而可得四棱錐的高即為點(diǎn)到平面的距離;

對(duì)于C選項(xiàng),可判斷三棱錐的外接球即四棱錐的外接球,根據(jù)勾股定理可求出四棱錐的外接球半徑,再根據(jù)球的表面積公式即可判斷;

對(duì)于D選項(xiàng),設(shè)交平面于點(diǎn),通過(guò)線面垂直的判定定理,可推出,從而可找出直線與平面所成的角,再利用余弦定理即可求得直線與平面所成的角的大小.

解:如圖,正方體的棱長(zhǎng)為的中點(diǎn),

對(duì)于,取的中點(diǎn)為,連接,

,則所成的角即為所成的角,即為

中,,,

,

由余弦定理得:,

,而異面直線夾角為,即,

所以,故A不正確;

連接,

因?yàn)?/span>為矩形,且,,

則四棱錐的頂點(diǎn)投影在底面的中心,即底面對(duì)角線的中點(diǎn),

而底面的對(duì)角線為:,

則四棱錐的高為:,

點(diǎn)到平面的距離為,故B不正確;

由圖可知,、、的四點(diǎn)共面,

所以三棱錐的外接球即四棱錐的外接球,

設(shè)四棱錐的外接球半徑為,

,解得,

則三棱錐的外接球表面積,故C不正確;

連接,其中交于點(diǎn),

交平面于點(diǎn),連接,

由于四點(diǎn)共面,平面在平面內(nèi),

則直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角,

因?yàn)檎襟w,則,

平面,則,且,

所以平面,平面

,則為直線與平面所成的角,

中,

,得

所以在中,,則,

即:直線與平面所成的角為,

所以直線與平面所成的角為,故D正確.

故選:D.

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