已知橢圓的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
(1).（2）見解析；(3)存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點.

試題分析：(1)由已知:,可得,,可得橢圓方程為.
（2）由（1）知，設(shè).根據(jù)知.
由消去,整理得:,
應(yīng)用韋達定理得
利用平面向量的坐標(biāo)運算即得(定值).
(3)以為直徑的圓恒過的交點,
由，建立Q坐標(biāo)的方程.
試題解析：(1)由已知:,,,
所以橢圓方程為.          4分
（2）由（1）知，.
由題意可設(shè).

由消去,整理得:,

.,

(定值).    9分
(3)設(shè).
若以為直徑的圓恒過的交點,
則.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點.          13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B.
①求證：；
②當(dāng)R為何值時，取得最大值？并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點，右頂點,且．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動直線：與橢圓有且只有一個交點，且與直線交于點,問：是否存在一個定點,使得.若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關(guān)于點M對稱.

（1）若點P的坐標(biāo)，求m的值；
（2）若橢圓C上存在點M，使得，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓內(nèi)一點R(1,0)作動弦MN，則弦MN中點P的軌跡是(　　)
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的左焦點為與過原點的直線相交于兩點,連接,若,則橢圓的離心率
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知離心率為的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點、，是兩曲線的一個公共點，若，則等于(     )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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同步練習(xí)冊答案
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