Question

已知某企業(yè)原有員工2000人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利3.5萬元．為應對國際金融危機給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)實施“優(yōu)化重組，分流增效”的策略，分流出一部分員工待崗．為維護生產(chǎn)穩(wěn)定，該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過原有員工的5%，并且每年給每位待崗員工發(fā)放生活補貼0.5萬元．據(jù)評估，當待崗員工人數(shù)x不超過原有員工1%時，留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利（1-

16

25x

）萬元；當待崗員工人數(shù)x超過原有員工1%時，留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利0.9萬元．為使企業(yè)年利潤最大，應安排多少員工待崗？

Answer 1

分析：利用在崗員工人數(shù)乘以留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利；分兩段求出企業(yè)年利潤，得到的是分段函數(shù)；利用基本不等式求出第一段函數(shù)的最大值；再利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出第二段函數(shù)的最小值，從兩個最小值中比較出最小值．

解答：解：設重組后，該企業(yè)年利潤為y萬元．
當待崗人員不超過1%時，由1-

16

25x

＞0，x≤2000×1%=20，得0＜x≤20（x∈N），
則y=（2000-x）（3.5+1-

16

25x

）-0.5x=-5（x+

256

x

）+9000.64；（3分）
當待崗人員超過1%且不超過5%時，由20＜x≤2000×5%，得20＜x≤100（x∈N），
則y=（2000-x）（3.5+0.9）-0.5x=-4.9x+8800．（6分）
∴y=

9000.64-5(x+ 256 x )  (0＜x≤20，x∈N) -4.9x+8800          (20＜x≤100，x∈N)

（7分）
當0＜x≤20且x∈N時，有
y=-5（x+

256

x

）+9000.64≤-5×2

256

+9000.64=8840.64，
當且僅當x=

256

x

，即x=16時取等號，此時y取得最大值，最大值是8840.64；（9分）
當20＜x≤100且x∈N時，函數(shù)y=-4.9x+8800為減函數(shù)．
所以y＜-4.9×20+8800=8702．（11分）
綜上所述，當x=16時，y有最大值8840.64萬元．
即要使企業(yè)年利潤最大，應安排16名員工待崗．（12分）

點評：本題考查將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力、考查求分段函數(shù)的最值時分段求再挑出最值中的最值、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值注意滿足的條件：一正、二定、三相等．