Question

【題目】將函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再將圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù)y=sinx的圖象．
（1）直接寫出f（x）的表達(dá)式，并求出f（x）在[0，π]上的值域；
（2）求出f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移 個單位長度得到y(tǒng)=sin（x+ ）的圖象，

再把橫坐標(biāo)縮短為原來的2倍，可得y=sin（ x+ ）=cos[ ﹣（ x+ ）]=cos（ x﹣ ）的圖象，

∴ ．

∵0≤x≤π，∴ ，∴ ，∴ ，

當(dāng)x=0時， ；當(dāng) 時，f（x）=1

（2）解：令 ，k∈Z，解得 ，k∈Z，

所以單調(diào)遞增區(qū)間為 ，k∈Z；

同理單調(diào)遞減區(qū)間為 ，k∈Z，

∵x∈[0，π]，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為

【解析】（1）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論．（2）根據(jù)f（x）的解析式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識，掌握圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．