Question

已知直線l：y=kx+2（k為常數(shù)）過橢圓+=1（（a＞b＞0）的上頂點B和左焦點F，直線l被圓x²+y²=4截得的弦長為d、
（1）若d=2，求k的值；
（2）若d≥，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）若d=2，求k，先有平面幾何的知識求出點O到直線l的距離，再由點到直線的距離公式求出點O到直線l的距離，如此得方程．
（2）用斜率k表示出弦長d，代入d≥，解出k的范圍，將離心率用k表示出來，利用單調(diào)性求出離心率的范圍，
解答：解：（1）取弦的中點為M，連接OM由平面幾何知識，OM=1，
OM==1．
解得k²=3，k=±．
∵直線過F、B，∴k＞0，
則k=．
（2）設(shè)弦的中點為M，連接OM，
則OM²=，
d²=4（4-）≥（）²，
解得k²≥．
e²=，
∴0＜e≤．
點評：考查直線與圓，與圓錐曲線的位置關(guān)系，本題的解題特點是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組，這是此類題的常見方式．