Question

已知，如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在線段AD上，且PG=4，AG=

1

3

GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）求DG與平面PBG所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以G點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，求出

GE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)，利用向量的夾角公式，即可求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）求出平面PBG的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求DG與平面PBG所成角的大�。�

解答： 解：（1）如圖所示，以G點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）
故E（1，1，0），∴

GE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)，
∴cos＜

GE

，

PC

＞=

GE • PC

| GE |•| PC |

=

2

2 • 20

=

10

10

，
∴異面直線GE與PC所成角的余弦值為

10

10

；---（6分）
（2）

GD

=

3

4

BC

=(-

3

2

，

3

2

，0)，

GB

=(2，0，0)，

GP

=(0，0，4)，
設(shè)平面PBG的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

2x=0 4z=0

，可得

n

=（0，1，0）
設(shè)DG與平面PBG所成角為α，則sinα=|cos＜

GD

，

n

＞|=

3 2

9 2 •1

=

2

2

，
∴α=45°，即DG與平面PBG所成角為45°．

點(diǎn)評：本題考查空間角，考查向量知識的運(yùn)用，正確運(yùn)用向量的夾角公式是關(guān)鍵．