Question

（選做題）已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤1或x≥5}，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+4）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≥3的解集，和已知的解集作對比，從而求得實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+f（x+4）=|x-2|+|x+2|，表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到2和-2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值
為4，從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由不等式f（x）≥3可得|x-a|≥3，解得 x≤a-3，或x≥a+3．
再由f（x）≥3的解集為{x|x≤1或x≥5}，可得a-3=-1，a+3=5，解得a=2．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|x-2|，設(shè)g（x）=f（x）+f（x+4），
則g（x）=|x-2|+|x+2|，表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到2和-2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為4，
若f（x）+f（x+4）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，應(yīng)有4≥m．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，4]．
點(diǎn)評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．