Question

已知f（x），g（x），h（x）都是定義在R上的函數(shù)．若存在正實數(shù)m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）對任意的x∈R總成立，則稱h（x）為函數(shù)f（x），g（x）在R上的“和生成”函數(shù)；若存在實數(shù)θ∈[0，π]，使得g（x）=f（x+θ）f（x）對任意的x∈R總成立，則稱 g（x）是函數(shù)f（x）在R上的“積生成”函數(shù)；當(dāng)P（x）=sin

x

2

，Q（x）=cos2x時，
（1）判斷函數(shù)y=cos3x是否為函數(shù)P（x），Q（x）在R上的“和生成”函數(shù)，請說明理由；
（2）記L（x）為函數(shù)P（x），Q（x）在R上的一個“和生成”函數(shù)，若L（

π

3

）=1，且L（x）的最大值為4，求L（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)P（x），Q（x）在R上的“和生成”函數(shù)，則存在正實數(shù)m，n使得cos3x=msin

x

2

+ncos2x，恒成立，通過取特殊值，得出矛盾，從而解決問題．
（2）由于L（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，則存在正實數(shù)m，n使得L（x）=msin

x

2

+ncos2x 恒成立，再結(jié)合題中條件得出關(guān)于m，n 的方程，即可求得m，n，從而得到代L（x）的解析式．

解答： 解：（1）若函數(shù)P（x），Q（x）在R上的“和生成”函數(shù)，
則存在正實數(shù)m，n使得cos3x=msin

x

2

+ncos2x，恒成立，
取x=π 得：-1=m+n，不符合m、n＞0這個條件，
故函數(shù)y=cos3x，（k∈R）不是f（x），g（x）在R上的“和生成”函數(shù)．
（2）設(shè)L（x）=msin

x

2

+ncos2x，由L（

π

3

）=1，可得

1

2

m-

1

2

n=1，即m=n+2，
∴L（x）=（n+2）sin

x

2

+ncos2x，由于當(dāng)x=π時，sin

x

2

 和cos2x 同時取得最大值，故L（x）取得最大值為n+2+n=4，
∴n=1，∴L（x）=3sin

x

2

+cos2x．

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的值域、函數(shù)恒成立問題、三角變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．