Question

14．樹德中學(xué)高一數(shù)學(xué)興趣班某同學(xué)探究發(fā)現(xiàn)：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c；在△ABC中有以下結(jié)論：
①若ab＞c²；則0＜C＜$\frac{π}{3}$；
②若a+b＞2c；則0＜C＜$\frac{π}{3}$；
③若a，b，c成等比數(shù)列（即b²=ac），則0＜B≤$\frac{π}{3}$；
④若a²，b²，c²成等比數(shù)列，亦有0＜B≤$\frac{π}{3}$；
他留下了下面兩個問題，請你完成：
（I）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin A+sin C=2sin（A+C）；
（II）若a²，b²，c²成等差數(shù)列，求B的取值范圍．
（參考公式：（1）x，y∈R，x²+y²≥2xy；（2）x，y∈R⁺，x+y≥2$\sqrt{xy}$；當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等）

Answer 1

分析 （I）由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+c=2b．由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式即可得解．
（II）由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b²=a²+c²，由余弦定理，基本不等式可得cosB=$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴a+c=2b．由正弦定理得sin A+sin C=2sin B．
∵sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
∴sin A+sin C=2sin（A+C）．…（6分）
（II）∵a²，b²，c²成等差數(shù)列，
∴2b²=a²+c²．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{{a^2}+{c^2}-\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}}}{2ac}$=$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立，
∴cosB的最小值為$\frac{1}{2}$．
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，余弦定理，基本不等式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．