Question

函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x的最大值為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；                   
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的最大值求出a．
（2）分別通過a的值，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x
=asin2x+cos2x+1
=

a2+1

sin（2x+φ）+1，…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=asin2x+2cos2x的最大值為3，
∴

a2+1

+1=3，解得a=±

3

；  …（4分）
（2）當(dāng)a=

3

時(shí)，函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2kπ+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（7分）
當(dāng)a=-

3

時(shí)，函數(shù)f（x）=-

3

sin2x+cos2x+1
=2scos（2x+

π

3

）+1，
由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，得kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]，k∈Z…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．