Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，點P是該雙曲線和圓x²+y²=a²+b²的一個交點，且△F₁PF₂的三邊成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P為雙曲線右支上一點，PF₁=m，PF₂=n，由圓的方程可得F₁，F(xiàn)₂為圓直徑的兩個端點，運用勾股定理和雙曲線的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡整理計算，再由離心率公式即可得到．

解答： 解：設(shè)P為雙曲線右支上一點，
PF₁=m，PF₂=n，
由于x²+y²=a²+b²=c²，
則F₁，F(xiàn)₂為圓直徑的兩個端點，
即有PF₁⊥PF₂，
即m²+n²=4c²，①
由雙曲線的定義可得m-n=2a，②
又n，m，2c成等差數(shù)列，
則2c+n=2m，③
由①③可得，n=

6

5

c，m=

8

5

c，
代入②得

2

5

c=2a，
則e=

c

a

=5．
故答案為：5．

點評：本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查圓的直徑所對的圓周角為直角，考查勾股定理的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．