已知二階矩陣M=
a1
0b
有特征值λ1=2及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
1
1
．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）若
a
=
2
1
，求M10
a
．
考點：特征值與特征向量的計算
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（Ⅰ）利用特征向量的定義，建立方程，即可求矩陣M；
（Ⅱ）確定
a
=
e1
+
e2
，再求M10
a
．
解答： 解：（Ⅰ）依題意：M
e1
=λ1
e1
，…（1分）
∴
a1
0b
1
1
=2
1
1
，∴
a+1=2
b=2
，…（2分）∴a=1，b=2．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩陣M的另一個特征值為λ2=1，…（4分）   
設(shè)
e2
=
x
y
是矩陣M屬于特征值λ2=1的特征向量，
則  
11
02
 
x
y
=
x
y
，∴
x+y=x
2y=y
取x=1，得
e2
=
1
0
，…（5分）
∴
a
=
e1
+
e2
，
∴M10
a
=λ110
e1
+λ210
e2
=210
1
1
+110
1
0
=
1025
1024
．…（7分）
點評：本題考查矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用、特征值與特征向量的計算，解題時要注意特征值與特征向量的計算公式的運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，求證：
（1）PC∥平面EBD；
（2）BC⊥PC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知一四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是側(cè)棱PC上的動點
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明：BD⊥AE．
（3）求二面角P-BD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且角A，B，C滿足A＜B＜C，（a2+c2-b2）tanB=
3
ac
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若tanA=
2
2
，c=
3
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知
AB
•
AC
=9，sinB=cosAsinC，面積S△ABC=6．
（1）求△ABC的三邊的長a，b，c；
（2）設(shè)P是△ABC（不含邊界）內(nèi)的一點，P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z且
AP
=
AC
|
AC
|
+
AB
|
AB
|
．
①寫出x、y、z所滿足的等量關(guān)系；
②求
2
x
+
1
y
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，?ABCD中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，
（1）當(dāng)
a
、
b
滿足什么條件時，表示
a
+
b
與
a
-
b
的有向線段所在的直線互相垂直？
（2）當(dāng)
a
、
b
滿足什么條件時，|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
（3）
a
+
b
與
a
-
b
有可能為相等向量嗎？為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x||x-1|＜6}，B={x|
x-8
2x-1
＞0}
（1）求A∩B；
（2）求（∁UA）∪B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（-1，0），B（1，-1）和拋物線C：y2=4x，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖
（1）證明：
OM
•
OP
為定值；
（2）若△POM的面積為
5
2
，求向量
OM
與
OP
的夾角；
（3）證明直線PQ恒過一個定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P為拋物線y2=2x上的點，及點A（3，2）
（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求點P到B（-
1
2
，1）的距離與P到直線x=-
1
2
的距離之和的最小值．

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同步練習(xí)冊答案