【題目】已知數(shù)列{an}前n項和為Sn , 滿足Sn=2an﹣2n(n∈N*).
(1)證明:{an+2}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列{ }的前n項和,若Tn<a對正整數(shù)a都成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)證明:由題設(shè)Sn=2an﹣2n(n∈N*),
Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n﹣1),n≥2,
兩式相減得an=2an﹣1+2,
即an+2=2(an﹣1+2),
又a1+2=4,
所以{an+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,
an+2=42n﹣1,即an=2n+1﹣2(n≥2)
又a1=2,所以an=2n+1﹣2(n∈N*);
(2)解:因為bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1,
即有 = = ﹣ ,
故Tn= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ < ,
依題意得:a≥
【解析】(1)運(yùn)用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系,變形整理即可得到{an+2}是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式,即可求得;(2)運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),化簡bn , 再由裂項相消求和,即可得到Tn , 運(yùn)用不等式恒成立思想即可得到a的范圍.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=4,BE=2.
(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)求PD與平面PCE所成角的正弦值;
(3)在棱AB上是否存在一點F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求 的值;如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員,日工資方案如下: 甲公司規(guī)定底薪80元,每銷售一件產(chǎn)品提成1元; 乙公司規(guī)定底薪120元,日銷售量不超過45件沒有提成,超過45件的部分每件提成8元.
(I)請將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(II)從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷員,對他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下條形圖。若記甲公司該推銷員的日工資為,乙公司該推銷員的日工資為 (單位: 元),將該頻率視為概率,請回答下面問題:
某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作,如果僅從日均收入的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為他作出選擇,并說明理由.
【答案】(I)見解析; (Ⅱ)見解析.
【解析】分析:(I)依題意可得甲公司一名推銷員的工資與銷售件數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系式,而乙公司是分段函數(shù)的關(guān)系式,由此解得;(Ⅱ)分別根據(jù)條形圖求得甲、乙公司一名推銷員的日工資的分布列,從而可分別求得數(shù)學(xué)期望,進(jìn)而可得結(jié)論.
詳解:(I)由題意得,甲公司一名推銷員的日工資 (單位:元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為: .
乙公司一名推銷員的日工資 (單位: 元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為:
(Ⅱ)記甲公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
122 | 124 | 126 | 128 | 130 | |
0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
記乙公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
120 | 128 | 144 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
∴
∴僅從日均收入的角度考慮,我會選擇去乙公司.
點睛:求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:
第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義;
第二步是“探求概率”,即利用排列組合,枚舉法,概率公式,求出隨機(jī)變量取每個值時的概率;
第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確;
第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點.
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為R.a,b∈R,若此函數(shù)同時滿足:
①當(dāng)a+b=0時,有f(a)+f(b)=0;
②當(dāng)a+b>0時,有f(a)+f(b)>0,
則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù).
在下列函數(shù)中:
①y=x+sinx;
②y=3x﹣( )x;
③y=
是Ω函數(shù)的為 . (填出所有符合要求的函數(shù)序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M的方程為x2+(y﹣2)2=1,直線l的方程為x﹣2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(1)若點P的橫坐標(biāo)為1,求切線PA,PB的方程;
(2)若點P的縱坐標(biāo)為a,且在圓M上存在點Q到點P的距離為1,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a4+a7=20,對任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 .
(I) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}定義如下:2mbm(m∈N*)是使不等式an≥m成立所有n中的最小值,求{bn}的通項公式及{(﹣1)m﹣1bm}的前2m項和T2m .
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