在平面直角坐標系中，已知過點的橢圓：的右焦點為，過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點，點關于坐標原點的對稱點為，直線，分別交橢圓的右準線于，兩點.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點的坐標為，試求直線的方程；
（3）記，兩點的縱坐標分別為，，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

（1），（2），（3）.

解析試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數(shù)法.關鍵是找全所需條件. 橢圓中三個未知數(shù)的確定只需兩個獨立條件，根據(jù)橢圓定義：點到兩個焦點距離和為，求出的值，再由求出的值，就可得到橢圓的標準方程（2）由點關于坐標原點的對稱點為，可直接寫出點坐標；又由點及，可得直線方程，再由方程與橢圓方程解出A點坐標，根據(jù)兩點式就可寫出直線的方程，（3）直線與橢圓位置關系問題就要從其位置關系出發(fā)，先根據(jù)直線AB垂直軸的特殊情況下探求的值，再利用點共線及點在橢圓上條件，逐步消元，直到定值.本題難點在如何利用條件消去參數(shù). 點共線可得到坐標關系，而利用點差法得到斜率關系是解決本題的關鍵.
試題解析：（1）由題意，得，即，  2分
又，，橢圓的標準方程為.              5分
（2），，又， ，
直線：，                       7分
聯(lián)立方程組，解得，            9分
直線：，即.          10分
（3）當不存在時，易得,
當存在時，設，，則，
，，兩式相減， 得，
，令，則， 12分
直線方程：，，
，直線方程：，，  14分
，又，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，左、右兩個焦點分別為、，上頂點，為正三角形且周長為6，直線與橢圓相交于兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且△的面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為.設拋物線的焦點在直線的下方.
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知是橢圓的右焦點；圓與軸交于兩點，其中是橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設圓與軸的正半軸的交點為，點是點關于軸的對稱點，試判斷直線與圓的位置關系；
（3）設直線與圓交于另一點，若的面積為，求橢圓的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點,試問：在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足,若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(I)求橢圓C的方程；
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且L與的兩個焦點A和B滿足（其中O為原點），求的取值范圍。

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