Question

2．在直角坐標(biāo)xOy中，${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t+5}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線${C_2}：{ρ^2}+2{ρ^2}{sin^2}θ-3=0$．
（1）求C₁的普通方程與C₂的參數(shù)方程；
（2）根據(jù)（1）中你得到的方程，求曲線C₂上任意一點(diǎn)P到C₁的最短距離，并確定取得最短距離時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)t即可得到普通方程；利用sin²α+cos²α=1即可得出其參數(shù)方程C₂；
（2）設(shè)$P（\sqrt{3}cosα，sinα）（α∈[0，2π））$，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定d，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t+5}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)）消去參數(shù)t，得
C₁：x-y+5=0，
曲線C₂的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，則
${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α$為參數(shù)）；
（2）設(shè)$P（\sqrt{3}cosα，sinα）（α∈[0，2π））$，點(diǎn)P到直線x-y+5=0的距離$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosα-sinα+5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2cos（α+\frac{π}{6}）+5}|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
當(dāng)$cos（α+\frac{π}{6}）=-1，α=\frac{5π}{6}$時(shí)，即$P（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$時(shí)，最短距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．