Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若•=•=1．
（Ⅰ）求證：A=B；
（Ⅱ）求邊長(zhǎng)c的值；
（Ⅲ）若|+|=，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，故可將•=•=1轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角方程，解方程即可證明：A=B
（2）由（1）的結(jié)論，再結(jié)合余弦定理，可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|+|=平方后，結(jié)合余弦定理，可以判斷三角形的形狀，再結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求△ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵•=•．
∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB
∴sin（A-B）=0
∵-π＜A-B＜π
∴A-B=0，∴A=B
（Ⅱ）∵•=1，∴bccosA=1
由余弦定理得bc•=1，即b²+c²-a²=2
∵由（Ⅰ）得a=b，∴c²=2，∴c=
（Ⅲ）∵|+|=，∴||²+||²+2|•|=6
即c²+b²+2=6
∴c²+b²=4
∵c²=2
∴b²=2，b=
∴△ABC為正三角形
∴S_△ABC=×（）²=
點(diǎn)評(píng)：（1）中在判斷三角形形狀時(shí)，要注意對(duì)角的范圍進(jìn)行分析，即求角的大小需要兩個(gè)條件：該角的一個(gè)三角函數(shù)值和該角的范圍，缺一不可．（2）正、余弦定理是解三解形必用的數(shù)學(xué)工具，正弦定理一般用于已知兩角一邊及兩邊和其中一邊對(duì)角的情況，余弦定理一般用于已知三邊及兩邊和其夾角的情況．