Question

設(shè)集合I={1，2，3，…，n} （n∈N，n≥2），構(gòu)造I的兩個非空子集A，B，使得B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則這樣的構(gòu)造方法共有

 

種．

Answer 1

考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題

專題：計算題,排列組合

分析：由題意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1，當(dāng)n≥2時，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

，由此能求出a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊）．

解答： 解：記不同的選擇方法種數(shù)為a_n，由題意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1
當(dāng)n≥2時，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

=（2

C

2 n

+3

C

3 n

+4

C

4 n

+…+n

C

n n

）-（

C

2 n

+

C

3 n

+

C

4 n

+…+

C

n n

）
=n2^n-1-（2ⁿ-1）=n2^n-1-2ⁿ+1
又a₁=0，a₂=1也滿足，
故a_n=n2^n-1-2ⁿ+1．
故答案為：n2^n-1-2ⁿ+1．

點評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題．