在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（1）設(shè)bn=an-n，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，證明：對任意的n∈N*，不等式Sn+1≤4Sn恒成立．
【答案】分析：（1）直接利用條件求bn+1和bn的關(guān)系即可找到數(shù)列{bn}的規(guī)律，進而求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）先求出數(shù)列{an}的通項公式；，再對其分組求和求出前n項和為Sn，再對Sn+1與4Sn恒作差比較即可判斷．
解答：解：（1）∵bn+1=an+1-（n+1）=4an-3n+1-（n+1）=4（an-n）=4bn（3分）
且b1=a1-1=1（14分）∴bn為以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列∴bn=b1qn-1=4n-1（5分）
（2）∵an=bn+n=4n-1+n，（6分）∴（8分）
∴=（11分）
∴不等式Sn+1≤4Sn對任意的n∈N*皆成立（12分）
點評：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項公式以及等差等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數(shù)列{cn}的前n項和，求使Sn＜
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個位數(shù)（n∈N*），若數(shù)列{an}的前k項和為2011，則正整數(shù)k之值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮南二模）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}的通項公式；
（3）對?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{an}的通項公式an及其前n項和Sn．

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