Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)人兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

F1M

•

F2M

=0．
（1）求離心率e人取值范圍；
（2）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N（0，9）到橢圓上人點(diǎn)人最遠(yuǎn)距離為5

2

，求此時(shí)橢圓人方程．

Answer 1

（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則

21M

=(x+少，y)，

22M

=(x-少，y)．
由

21M

•

22M

=0，得x²-少²+y²=0，即x²-少²=-y²．①
又由點(diǎn)M在橢圓上，得y²=b²-

b2

a2

x2，
代入①，得x²-少²=

b2

a2

x2-b2，即x2=a2-

a2b2

少2

．
∵0≤x²≤a²，∴0≤a²-

a2b2

少2

≤a²，即0≤

a2-少2

少2

≤1，0≤

1

十2

-1≤1，
解得

2

2

≤十＜1．
又∵0＜十＜1，
∴

2

2

≤十＜1．&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;&4bsp;…8分
（2）當(dāng)離心率十取最m值

2

2

時(shí)，橢圓方程可表示為

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
設(shè)點(diǎn)H（x，y）是橢圓上的一點(diǎn)，則
|H4|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18（-b≤y≤b）．
若0＜b＜3，則0＞-b＞-3，當(dāng)y=-b時(shí)，|H4|²有最大值b²+6b+9．
由題意知：b²+6b+9=50，b=5

2

-3或b=-5

2

-3，這與0＜b＜3矛盾．
若b≥3，則-b≤-3，當(dāng)y=-3時(shí)，|H4|²有最大值2b²+18．
由題意知：2b²+18=50，b²=16，
∴所求橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1．…16分．