Question

已知函數(shù)，；

(Ⅰ)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng) (是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)來求；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求最值.

試題解析：（Ⅰ）若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，

則在[1,2]上恒成立

令h(x)＝2x²＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立

∴得，∴a≤             6分

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)＝f(x)－x²，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝ 

①當(dāng)a≤0時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

∴g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)

②當(dāng)0<<e即a>時，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增

∴g(x)_min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e²滿足條件

③當(dāng)≥e即0<a≤時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝> (舍去)

綜上所述，存在a＝e²使得當(dāng)x∈(0，e]時，g(x)有最小值3     .15分

考點(diǎn)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生的綜合化簡計算能力.