已知偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，下列判斷中錯(cuò)誤的是（　　）
A．f（5）=0
B．函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線 x=1對稱
D．函數(shù)f（x）的周期是T=4
對于A，令x=0代入題中等式，得f（1-0）+f（1+0）=0
∴f（1）=0，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)得f（-1）=f（1）=0
再令x=2代入題中等式，，得f（1-2）+f（1+2）=0，得f（3）=-f（-1）=0
結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)得f（-3）=f（3）=0
最后令x=4，f（1-4）+f（1+4）=0，得f（5）=-f（-3）=0，故A項(xiàng)正確；
對于B，因?yàn)榕己瘮?shù)y=f（x）圖象關(guān)于y軸對稱，在區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)，
所以y=f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，
設(shè)F（x）=f（1+x），得F（-x）=f（1-x）
因?yàn)閒（1-x）+f（1+x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），
所以F（x）=f（1+x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．由此可得y=f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱．
∵區(qū)間[1，2]和區(qū)間[0，1]是關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱的區(qū)間，且在對稱的區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性一致
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；
對于C，由B項(xiàng)的證明可知，y=f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，
若f（x）的圖象同時(shí)關(guān)于直線 x=1對稱，則f（x）=0恒成立，
這樣與“在區(qū)間[-1，0]上f（x）是增函數(shù)”矛盾，故C不正確；
對于D，因?yàn)閒（x）=f（1-（1-x））=-f（1+（1+x））=-f（x+2）
所以f（x+2）=-f（x+4），可得f（x+4）=f（x），函數(shù)f（x）的周期是T=4，D項(xiàng)正確
故選：C
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

35、已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，給出下列判斷：（1）f（5）=0；（2）f（x）在[1，2]上減函數(shù)；（3）f（x）的圖象關(guān)與直線x=1對稱；（4）函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值；（5）函數(shù)y=f（x）沒有最小值，其中正確的序號是
（1）（2）（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知偶函數(shù)y=f（x）在[-1，0]上為單調(diào)遞減函數(shù)，又α、β為銳角三角形的兩內(nèi)角，則（　　）
A、f（sinα）＞f（cosβ）B、f（sinα）＜f（cosβ）C、f（sinα）＞f（sinβ）D、f（cosα）＞f（cosβ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知偶函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+1）=f（x-1），且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=3x+
4
9
，則f(log
1
3
5)的值等于
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是增函數(shù)，下列不等式一定成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[0，3]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞減，且滿足f（-4）=f（1）=0，則不等式x3f（x）＜0的解集是（　�。�

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