Question

已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)．
（1）求證cosA是有理數(shù)；
（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出三邊為a，b，c，根據(jù)三者為有理數(shù)可推斷出b²+c²-a²是有理數(shù)，b²+c²-a²是有理數(shù)，進(jìn)而根據(jù)有理數(shù)集對于除法的具有封閉性推斷出

b2+c2-a2

2bc

也為有理數(shù)，根據(jù)余弦定理可知

b2+c2-a2

2bc

=cosA，進(jìn)而可知cosA是有理數(shù)．
（2）先看當(dāng)n=1時，根據(jù)（1）中的結(jié)論可知cosA是有理數(shù)，當(dāng)n=2時，根據(jù)余弦的二倍角推斷出cos2A也是有理數(shù)，再假設(shè)n≤k（k≥2）時，結(jié)論成立，進(jìn)而可知coskA、cos（k-1）A均是有理數(shù)，用余弦的兩角和公式分別求得cos（k+1）A，根據(jù)cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理數(shù)推斷出cosA，coskA，cos（k-1）A，即n=k+1時成立．最后綜合原式得證．

解答：解：（1）證明：設(shè)三邊長分別為a，b，c，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∵a，b，c是有理數(shù)，b²+c²-a²是有理數(shù)，分母2bc為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，
∴

b2+c2-a2

2bc

必為有理數(shù)，
∴cosA是有理數(shù)．
（2）①當(dāng)n=1時，顯然cosA是有理數(shù)；
當(dāng)n=2時，∵cos2A=2cos²A-1，因?yàn)閏osA是有理數(shù)，∴cos2A也是有理數(shù)；
②假設(shè)當(dāng)n≥k（k≥2）時，結(jié)論成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理數(shù)．
當(dāng)n=k+1時，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，cos(k+1)A=coskAcosA-

1

2

[cos(kA-A)-cos(kA+A)]，cos(k+1)A=coskAcosA-

1

2

cos(k-1)A+

1

2

cos(k+1)A，
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理數(shù)，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理數(shù)，
∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理數(shù)．
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立．
綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力．