Question

已知△ABC的三邊長為三個連續(xù)的正整數，且最大角為鈍角，則最長邊長為

4

．

Answer 1

分析：先設△ABC的三邊分別為n-1，n，n+1，由∠C為鈍角⇒cosC＜0，然后根據余弦定理得出c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，得出n-1）²+n²＜（n+1）²，求出n，當n=2時，不能構成三角形，舍去，當n=3時，求出△ABC三邊長，即可求出最長的邊長．

解答：解：設△ABC的三邊a，b及c分別為n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是鈍角三角形，不妨設∠C為鈍角，則有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosC＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
當n=2時，不能構成三角形，舍去，
當n=3時，△ABC三邊長分別為2，3，4，
綜上，最長的邊長為4．
故答案為：4

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有三角形的邊角關系，余弦函數的圖象與性質，以及余弦定理，靈活運用余弦定理得出（n-1）²+n²＜（n+1）²是解本題的關鍵．