已知四棱錐的三視圖如下圖所示,是側(cè)棱上的動點.
(1) 求四棱錐的體積;
(2) 是否不論點在何位置,都有?證明你的結(jié)論;
(3) 若點為的中點,求二面角的大。
解:(1) 由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,
側(cè)棱底面,且. …………2分
∴,
即四棱錐的體積為. …………4分
(2) 不論點在何位置,都有. …………5分
證明如下:連結(jié),∵是正方形,
∴. …………6分
∵底面,且平面,
∴. …………7分
又∵,∴平面.
∵不論點在何位置,都有平面.
∴不論點在何位置,都有. …………8分
(3) 解法1:在平面內(nèi)過點作于,連結(jié).
∵,,,
∴Rt△≌Rt△,
從而△≌△,∴.
∴為二面角的平面角. …………10分
在Rt△中,,
又,在△中,由余弦定理得
,
∴,
即二面角的大小為.…………12分
解法2:如圖,以點為原點,
所在的直線分別為軸建立空間直角
坐標系.則,從而
,,,.………8分
設(shè)平面和平面的法向量分別為
,,
由,取.
由,取. …………10分
設(shè)二面角的平面角為,則,
∴,即二面角的大小為. …………12分
科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江西高二5月聯(lián)考文數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知四棱錐的三視圖如圖所示,則此四棱錐的四個側(cè)面的面積中最大的是( )
A.2 B.3 C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年內(nèi)蒙古、平煤高中高三5月聯(lián)合考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知四棱錐的三視圖如圖所示,則四棱錐的四個側(cè)面中面積最大的是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年江西省上饒市四校高三第二次聯(lián)考數(shù)學理卷 題型:選擇題
已知四棱錐的三視圖如下圖所示,則四棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
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