Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=（ax²+a+1），其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）當-1＜a＜0時，求f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)然后整理成f′（x）=e^-x（-ax²+2ax-a-1）的形式，因為e^-x＞0，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減通過討論函數(shù)g（x）=-ax²+2ax-a-1值的情況來確定原函數(shù)的單調(diào)性．
（2）先根據(jù)a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)等于0的兩根的范圍，進而可判斷函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性，最后可得到最小值．
解答：解：（1）由已知f′（x）=-e^-x（ax²+a+1）+e^-x•2ax
=e^-x（-ax²+2ax-a-1）．
因為e^-x＞0，以下討論函數(shù)g（x）=-ax²+2ax-a-1值的情況：
當a=0時，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是減函數(shù)．
當a＞0時，g（x）=0的判別式△=4a²-4（a²+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，
即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是減函數(shù)．
當a＜0時，g（x）=0有兩個根x_1，2=，并且＜，
所以在區(qū)間（-∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)；
在區(qū)間（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù)．
在區(qū)間（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)．
綜上，當a≥0時，f（x）在R上是減函數(shù)；
當a＜0時，f（x）在（-∞，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，
在（，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）當-1＜a＜0時，=1+＜1，=1+＞2，
所以在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負之間的關(guān)系、函數(shù)的最值問題．函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性有緊密聯(lián)系．判斷較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)的符號是基本方法．