考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象
專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（Ⅰ）證明f（-x）=f（x），即可證明f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）分情況討論：當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)?nbsp;f（x）=acosx+xsinx＞0，
x∈[-，]恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，令f（x）=xsinx=0，得 x=0．
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是
[0，]上的增函數(shù)．由
f(0)=a＜0，f()=＞0，可得f（x）在
(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，即可求出集合A={x|f（x）=0}中元素的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)．
解答：
（共13分）
解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，證明如下：…（1分）
對(duì)于
?x∈[-，]，則
-x∈[-，]．…（2分）
因?yàn)?nbsp;f（-x）=acos（-x）-xsin（-x）=acosx+xsinx=f（x），
所以 f（x）是偶函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)?nbsp;f（x）=acosx+xsinx＞0，
x∈[-，]恒成立，
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的個(gè)數(shù)為0．…（5分）
當(dāng)a=0時(shí)，令f（x）=xsinx=0，由
x∈[-，]，
得 x=0．
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的個(gè)數(shù)為1．…（6分）
當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)?nbsp;
f′(x)=-asinx+sinx+xcosx=(1-a)sinx+xcosx＞0，x∈(0，)，
所以 函數(shù)f（x）是
[0，]上的增函數(shù)．…（8分）
因?yàn)?nbsp;
f(0)=a＜0，f()=＞0，
所以 f（x）在
(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)．
由f（x）是偶函數(shù)可知，集合A={x|f（x）=0}中元素的個(gè)數(shù)為2．…（10分）
綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，集合A={x|f（x）=0}中元素的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)a=0時(shí)，集合A={x|f（x）=0}中元素的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)a＜0時(shí)，集合A={x|f（x）=0}中元素的
個(gè)數(shù)為2．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題．
