如圖，斜率為1的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，M為拋物線弧AB上的動點．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）求S△ABM的最大值．

【答案】分析：（1）先聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到x1+x2的值，再根據(jù)拋物線定義，得到焦點弦的弦長公式，
代入并解得p，從而求得拋物線的方程為y2=4x．
（2）設，根據(jù)直線AB的方程得到用y和p表示的點M到AB的距離d．又根據(jù)點M在直線AB的上方
解得y的范圍，即求出了d的最大值，再代入面積公式，可求得S△ABM的最大值．
解答：解：（1）由條件知，則，
消去y得：，
則x1+x2=3p，由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=4p
又因為|AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y2=4x．
（2）由（1）知|AB|=4p和，設，
則M到AB的距離為：，
因點M在直線AB的上方，所以
則
由知
所以，則當y=p時，
則
點評：本題考查拋物線的定義，及焦點弦公式，關鍵是點到直線的距離公式的靈活運用和拋物線上點坐標的巧妙設法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜率為1的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，M為拋物線弧AB上的動點．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）求S△ABM的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，斜率為1的直線過拋物線Ω：y2=2px（p＞0）的焦點F，與拋物線交于兩點A，B，
（1）若|AB|=8，求拋物線Ω的方程；
（2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求△ABC的面積S的最大值；
（3）設P是拋物線Ω上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，斜率為1的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，將直線AB按向量
a
=(-p，0)平移得到直線l，N為l上的動點，M為拋物線弧AB上的動點．
（Ⅰ） 若|AB|=8，求拋物線方程．
（Ⅱ）求S△ABM的最大值．
（Ⅲ）求
NA
•
NB
的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜率為1的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，將直線AB按向量
a
=(-p，0)平移到直線l，N為l上的動點．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）求
NA
•
NB
的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：山東省棗莊市2010屆高三年級調研考試數(shù)學（文科）試題 題型：解答題

（本題滿分12分）

如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點A，B。

   （1）若|AB|=8，求拋物線的方程；

   （2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求的面積S的最大值；

   （3）設P是拋物線上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案